Macht es doch nicht so kompliziert.
Beim Sony Xperia Z1C ist die App "File Commander" eine Systemapp!!
D.h., diese App hat uneingeschränkten Schreibzugriff auf die SD-Karte (auch ohne Root) - und demzufolge kann man damit auch die Bilder verschieben.
Aus diesem Grund habe ich mir dafür den PRO-Schlüssel gegönnt, da die Möglichkeiten dann etwas größer sind.
An den Funktionsumfang vom ES Datei Explorer kommt die aber auch als PRO nicht heran...
Generell bin ich ein strikter Gegner dieser Schreib-Beschränkung.
Hatte diesbzgl. auch schon Kontakt zu Sony, da die ja bestimmen können, welchen Apps sie Systemzugriff gewähren.
Die verstecken sich aber auch nur hinter Google, weil sie dies oder das nicht nur nicht können, sondern einfach nicht WOLLEN.
EDIT: Ansonsten geht das ohne Dateimanager zumindest auf der SD-Karte nicht.
Falls man den DCIM-Ordner auf dem internen Speicher hat, könnte man die App "Send to SD" zum Verschieben von Bildern benutzen.
Im Album geht das dann über: Bild(er) auswählen ...Export-Funktion ...Send to SD - dann aber auch nur Ordner auf dem internen Speicher!.
Auf der externen SD-Karte hat diese App auch keinen Zugriff mehr.